Consider a finite group $G$. In this note, I will define a (complex) representation of $G$ to be any group homomorphism $\rho : G \rightarrow GL(n,\mathbb{C})$. Working on the field of complex numbers instead of an arbitrary field has many advantages:
(draft)
Le bokeh est un effet utilisé en photographie dans lequel un plan de l'image est volontairement flou, afin de faire ressortir un autre plan qui, lui, est net. On peut se demander quels sont les différents paramètres influant sur l'effet de bokeh. Je présente ici une formule simple pour quantifier les effets des paramétres standards, dans le cadre de l'optique géométrique, et en supposant que l'objectif est assimilable à une lentille mince.
Just two pages on conformal manifolds and two rings of superconformal primary operators, following the first section of a recent paper by Gerchkovitz, Gomis, Ishtiaque, Karasik, Komargodski and Pufu.
Here are a few more notes on mirror symmetry, following Hanany and Witten.
This is based on the recent paper by Kim, Razamat, Vafa and Zafrir.
Considérons un nombre premier impair $p$ et calculons $a^2$, pour tout $a \in \mathbb{Z}_p-\{0\}$. Par exemple, pour $p=41$, on obtient $$1,4,9,16,25,36,8,23,40,18,39,21,5,32,20,10,2,37,33,31,31,33,37,2,10,20,32,5,21,39,18,40,23,8,36,25,16,9,4,1$$ (j'identifie ici un élément de $\mathbb{Z}_p$ avec un de ses représentants). Evidemment, comme $a^2 = (-a)^2$, la suite de nombres obtenue est palindromique, et comme $p$ est impair, chaque nombre apparaît un nombre pair de fois. Ordonnons la suite : $$1,1,2,2,4,4,5,5,8,8,9,9,10,10,16,16,18,18,20,20,21,21,23,23,25,25,31,31,32,32,33,33,36,36,37,37,39,39,40,40$$ On observe que tous les nombres apparaissent en fait exactement deux fois. Cela s'explique facilement : le polynôme $X^2 - A$ a au plus deux solutions dans le corps $\mathbb{Z}_p$, pour tout $A$ fixé. On en déduit que $\mathbb{Z}_p-\{0\}$ peut être partitionné en deux parties de même cardinal $(p-1)/2$, à savoir les nombres qui sont un carré, et qu'on appelle les résidus quadratiques, ici $$1,2,4,5,8,9,10,16,18,20,21,23,25,31,32,33,36,37,39,40 \, , $$ et les autres, qui sont n'en sont pas, et qu'on appelle les non-résidus quadratiques, ici $$ 3, 6, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 22, 24, 26, 27, 28, 29, 30, 34, \ 35, 38 \, . $$ Mais comment savoir a priori si un nombre donné $A$ est un résidu quadratique ou non ?
Many results in 4d N=2 theories come from the combination of two principles: renormalization group and supersymmetry. Computing a protected observable in the UV and the IR gives different expressions for the same quantity, and this can be interesting. Let us see an example, following a talk Clay Cordova gave at String-Maths 2017 (video available on the website of the conference).
Three-dimensional mirror symmetry is the statement that some $3d$ $\mathcal{N}=4$ theories at non-trivial IR renormalization group fixed point can have a dual description that satisfies some characteristic properties. Namely, this mirror symmetry relates two $3d$ $\mathcal{N}=4$ theories, in such a way that
In any $\mathcal{N}=2$ supersymmetric conformal field theory in four dimensions, one can find on any $\mathbb{R}^2$ plane a chiral algebra (similar to what exists naturally in two-dimensional CFTs). This chiral algebra has the structure of a $\mathcal{W}$-algebra. This construction also applies to six-dimensional $\mathcal{N}=(2,0)$ theories. Here are some manuscript notes, based on the following papers : Four dimensions; Six dimensions; $\mathcal{W}$-algebras.
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